Математическое мышление: концептуальное доказательство или логический вывод?

Аннотация

Статья посвящена сопоставлению двух типов доказательств в математической практике,   методологические расхождения которых восходят к различию понимания природы математики  Декартом и Лейбницем.  В современной философии математики говорят о концептуальном и формальном доказательствах в связи с т.н. Тезисом Гильберта, согласно которому каждое доказательство может быть преобразовано в логический вывод в подходящей формальной системе. Анализ аргументации сторонников и противников Тезиса,  «концептуалистов» и «формалистов», представлен соответственно двумя главными антагонистами – И. Рав и Дж. Аззуни. В центре внимания – вопрос о возможности воспроизведения доказательства «интересных» математических теорем в виде строгого логического вывода, в принципе осуществимого механической процедурой. Аргументация концептуалистов основана на указании важности других аспектов доказательства помимо логического заключения, а именно, во введении новых понятий, методов и установлении связей между различными разделами содержательной математики, что часто иллюстрируется случаем доказательства Последней Теоремы Ферма (Рав – Y. Rav). Формалисты говорят о том, что концептуальное доказательство «указывает» на формальную логическую структуру доказательства (Аззуни J. Azzouni). В статье высказывается догадка, что в основе разногласий лежит предположение об асимметрии взаимного перевода синтаксических и семантических структур языка, в результате которой формальное доказательство теряет важные смысловые факторы доказательства. В пользу формального доказательства указана программа унивалентных основ математики В. Воеводского, согласно которых будущее математических доказательств связана с наличием компьютерных проверочных программ. В пользу концептуальных доказательств указано (Пелк- A. Pelc), что число шагов в предполагаемом формальном логическом выводе при доказательстве «интересной» теоремы превышает когнитивные способности человека. Последнее обстоятельство выводит полемику за пределы собственно тематики математического доказательства в эпистемологическую сферу дискуссий «менталистов» и «механицистов» в вопросе о предполагаемом превосходстве человеческого интеллекта над машиной, инициированных Р. Пенроузом в его интерпретации Второй Теоремы  Геделя, в числе сторонников которого, как оказалось был и сам Гедель.