Математическое мышление: концептуальное доказательство или логический вывод?
Аннотация
Статья посвящена сопоставлению двух типов доказательств в математической практике, методологические расхождения которых восходят к различию понимания природы математики Декартом и Лейбницем. В современной философии математики говорят о концептуальном и формальном доказательствах в связи с т.н. Тезисом Гильберта, согласно которому каждое доказательство может быть преобразовано в логический вывод в подходящей формальной системе. Анализ аргументации сторонников и противников Тезиса, «концептуалистов» и «формалистов», представлен соответственно двумя главными антагонистами – И. Рав и Дж. Аззуни. В центре внимания – вопрос о возможности воспроизведения доказательства «интересных» математических теорем в виде строгого логического вывода, в принципе осуществимого механической процедурой. Аргументация концептуалистов основана на указании важности других аспектов доказательства помимо логического заключения, а именно, во введении новых понятий, методов и установлении связей между различными разделами содержательной математики, что часто иллюстрируется случаем доказательства Последней Теоремы Ферма (Рав – Y. Rav). Формалисты говорят о том, что концептуальное доказательство «указывает» на формальную логическую структуру доказательства (Аззуни J. Azzouni). В статье высказывается догадка, что в основе разногласий лежит предположение об асимметрии взаимного перевода синтаксических и семантических структур языка, в результате которой формальное доказательство теряет важные смысловые факторы доказательства. В пользу формального доказательства указана программа унивалентных основ математики В. Воеводского, согласно которых будущее математических доказательств связана с наличием компьютерных проверочных программ. В пользу концептуальных доказательств указано (Пелк- A. Pelc), что число шагов в предполагаемом формальном логическом выводе при доказательстве «интересной» теоремы превышает когнитивные способности человека. Последнее обстоятельство выводит полемику за пределы собственно тематики математического доказательства в эпистемологическую сферу дискуссий «менталистов» и «механицистов» в вопросе о предполагаемом превосходстве человеческого интеллекта над машиной, инициированных Р. Пенроузом в его интерпретации Второй Теоремы Геделя, в числе сторонников которого, как оказалось был и сам Гедель.
Скачивания
Литература
Гильберт Д. Основания геометрии М.: ОГИЗ, 1948. 492 с.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. 152 с.
Хакинг Я. Почему вообще существует философия математики. М.: Канон+, 2020. 399 с.
Пенроуз Р. Тени разума. Т. 1. М.- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 367 с.
Целищев В.В. Алгоритмизация мышления: геделевский аргумент. Новосибирск: Параллель, 2005. 303 с.
Azzouni J. The Derivation-Indicator View of Mathematical Practice // Philosophia Mathemaica (III). 2004. Vol. 12. Pp. 81–105.
Horgan J. The Death of Proof // Scientific American. 1993. Vol. 269. No. 4. 1993. Pp. 92–103.
Kreisel G. Mathematical Logic: Tool and Object Lesson for Science // Synthese. 1985. Vol. 62. Pp. 139–151.
Kripke S. The Church-Turing ‘Thesis’ as a Special Corollary of Gödel’s Completeness Theorem // Computability: Turing, Gödel, Church, and Beyond. / Ed. by B. J. Copeland, C. Posy & O. Shagrir. MIT Press, 2013. Pp. 77-104.
Pelc A. Why Do We Believe Theorems // Philosophia Mathematica. 2009. Vol. 17. No.1. Pp. 84–94.
Rav Y. Why Do We Prove Theorems? // Philosophia Mathematica. 1999, Vol. 7. No. 3. Pp. 5–41.
Rav Y. A Critique of a Formalist-Mechanist Version of the Justification of Arguments in Mathematicians’ Proof Practices // Philosophia Mathematica. 2007. Vol. 15. No. 3. Pp. 291–320.